Ultima questão da prova de Lógica

**Paulo** Ter Jun 09, 2009 3:01 am

Bastante gente tava com dúvida nela lá... inclusive eu, que fui perguntar o porquê de ser aquele resultado...

Anyway, abaixo a resolução e uma explicação bem superficial

* Para todo n natural maior que 1; prove que a expressao a seguir é verdadeira por PIF:
n² > n + 1

Pelo P. I. F. (Principio da Indução Finita), fazemos...

1) n = k
P(k) = k² > k + 1

2) n = k + 1
P(k+1) = (k+1)² > k + 2
(k+1)² é o mesmo que "o quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo", que é: k² + 2.1.K + 1.
Então fica:
k² + 2k+ 1 > k + 2

Por sugestão do Danilo, ignoremos o sinal de " > "; e fazemos igual os outros... Então:
"k² = k + 1"
Portanto, k² + 2k +1 > k + 2 é o mesmo que:
k + 1 + 2k + 1 > k + 2
3k + 2 > k +2
Levando em conta que K é um numero Natural (inteiros maiores que zero) e MAIOR que UM; pra qualquer número que você substituir o K ali, a expressão será verdadeira.
Exercício terminado...

Pra quem gosta de saber um pouco mais a fundo, eu tava questionando isso com um amigo e chegamos a conclusão:
Mas k+1 eh menor que k², pq substituiria por ele entao?
Se bem que da certo, pq se com um numero MENOR (k+1) a expressao der verdadeira, com um maior também daria, nesse caso...
k² + 2k + 1 > k + 2
k + 1 + 2k + 1 > k + 2
3k + 2 > k + 2, o que é verdade
Levando em conta que substitui o k² por k+1, que é MENOR que k², e a expressao foi verdadeira, entao com k² continuaria sendo verdadeira, já que K é um numero natural maior que 1, e k² é MAIOR que k+1, que ali na expressão já resultava em uma verdade.

Enfim... não me batam. Mas isso é legal pra caralho, né? =P